int_{-pi/2}^{pi/2} (3sin x + sin^3 x) , dx का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$.फलन $f(x) = 3\sin x + \sin^3 x$ पर विचार करें।$x$ के स्थान पर $-x$ रखकर जाँचें कि फलन

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(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$.फलन $f(x) = 3\sin x + \sin^3 x$ पर विचार करें।$x$ के स्थान पर $-x$ रखकर जाँचें कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = 3\sin(-x) + \sin^3(-x)$चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$,इसलिए:$f(-x) = 3(-\sin x) + (-\sin x)^3 = -3\sin x - \sin^3 x = -(3\sin x + \sin^3 x) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx = 0$।

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ का मान है

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यदि $I = \int_0^{\pi /4} \sin^2 x \, dx$ और $J = \int_0^{\pi /4} \cos^2 x \, dx$ है,तो $I = $

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तो $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx = $

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