$c$ ની કઈ કિંમત માટે ગણ,$\{(x, y) | x^2 + y^2 + 2x \le 1 \} \cap \{(x, y) | x - y + c \ge 0\}$ માં માત્ર એક જ સામાન્ય બિંદુ હોય છે?

ઉગમબિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ પર સ્પર્શકોની જોડી દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ આગળનો સ્પર્શક અને અભિલંબ $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. ધારો કે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળ $C$ દોરવામાં આવે છે અને રેખા $x = 2 \sqrt{5}$ એ વર્તુળ $C$ ને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો વર્તુળ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માં છેદતા હોય,તો $\alpha^2 - \beta^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $3k$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય અને અક્ષોને $A$ અને $B$ બિંદુએ છેદે,તો ત્રિકોણ $OAB$ ના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ કયું વર્તુળ છે?

ધારો કે $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,જ્યાં $r > 0$. ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S_0 = 0$ અને,$n \geq 1$ માટે,$S_n$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. $n \geq 1$ માટે,$C_n$ એ $(S_{n-1}, 0)$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $D_n$ એ $(S_{n-1}, S_{n-1})$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $k$ એ $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $C_n$ ની સંખ્યા છે. ધારો કે $l$ એ આ $k$ વર્તુળોમાં એવા વર્તુળોની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા છે કે જેથી કોઈ પણ બે વર્તુળો એકબીજાને છેદે નહીં. તો
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $D_n$ ની સંખ્યા છે
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

અચળ બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી દોરેલ રેખા,વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ને $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે,તો $PA \cdot PB = \dots$