int_{0}^{1} left( prod_{r=1}^{n} (x+r) right) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $f(x) = \prod_{r=1}^{n} (x+r)$.તેથી $\ln(f(x)) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x+k)$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)}

Vedclass · Accepted Answer

$n \cdot n!$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $f(x) = \prod_{r=1}^{n} (x+r)$.તેથી $\ln(f(x)) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x+k)$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k}$ મળે છે.આમ,$f'(x) = f(x) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k}$.સંકલન $\int_{0}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{0}^{1}$ બને છે.$f(1) = \prod_{r=1}^{n} (1+r) = 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n+1) = (n+1)!$.$f(0) = \prod_{r=1}^{n} (0+r) = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n = n!$.તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $(n+1)! - n! = n!(n+1-1) = n \cdot n!$ થાય છે.

$\int_{0}^{1} \left( \prod_{r=1}^{n} (x+r) \right) \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k} \right) dx$ નું મૂલ્ય શું થાય?

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ $(x \geq 0)$ છે. તો $f(3) - f(1)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_1^n [x] dx = 120$ હોય,તો $n = $

જો $a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 nx}{\sin x} dx$ હોય,તો $a_2 - a_1, a_3 - a_2, a_4 - a_3$ એ શેમાં છે?

$\int\limits_2^4 {\left[ {{{\log }_x}2 - \frac{{{{\left( {{{\log }_x}2} \right)}^2}}}{{\ln 2}}} \right]} dx =$

જો $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$ હોય, તો $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module