सभी n in mathbb{N} के लिए असमिका 2^{n+4} + 12 | vedclass

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Question

(B) माना $m = n+4$ है। चूँकि $n \in \mathbb{N}$,$n \geq 1$,इसलिए $m \geq 5$ है।दी गई असमिका $2^m + 12 \geq km$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि सभी $m \geq

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$8$

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(B) माना $m = n+4$ है। चूँकि $n \in \mathbb{N}$,$n \geq 1$,इसलिए $m \geq 5$ है।दी गई असमिका $2^m + 12 \geq km$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि सभी $m \geq 5$ के लिए $k \leq \frac{2^m + 12}{m}$ है।सबसे बड़े पूर्णांक $k$ को खोजने के लिए,हमें $m \in \{5, 6, 7, \dots\}$ के लिए फलन $f(m) = \frac{2^m + 12}{m}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।$m = 5$ के लिए: $f(5) = \frac{2^5 + 12}{5} = \frac{32 + 12}{5} = \frac{44}{5} = 8.8$ है।$m = 6$ के लिए: $f(6) = \frac{2^6 + 12}{6} = \frac{64 + 12}{6} = \frac{76}{6} \approx 12.66$ है।$m = 7$ के लिए: $f(7) = \frac{2^7 + 12}{7} = \frac{128 + 12}{7} = \frac{140}{7} = 20$ है।जैसे-जैसे $m$ बढ़ता है,$m \geq 5$ के लिए $f(m)$ का मान बढ़ता है।अतः,न्यूनतम मान $m = 5$ पर $8.8$ है।चूँकि $k \leq f(m)$ सभी $m$ के लिए है,$k$ को $f(m)$ के न्यूनतम मान से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए।इसलिए,$k \leq 8.8$ है।सबसे बड़ा पूर्णांक $k = 8$ है।

सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए असमिका $2^{n+4} + 12 \geq k(n+4)$ को संतुष्ट करने वाले सबसे बड़े पूर्णांक $k$ का मान है

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