समाकलन int_{-1}^{1} log_{e}(sqrt{1-x}+sqrt{1+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ है। चूँकि फलन $f(x) = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{e} 2 + \frac{\pi}{2} - 1$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ है। चूँकि फलन $f(x) = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ होगा।खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ और $dv = dx$ लें।तब $du = \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{1-x}} + \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\right) dx = \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} dx = \frac{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})^2}{2\sqrt{1-x^2}(1-x-1-x)} dx = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{-4x\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{2x\sqrt{1-x^2}} dx$ प्राप्त होता है।$I = 2 \left[ x \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \Big|_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{2x\sqrt{1-x^2}} dx \right]$.$I = 2 \left[ (1 \cdot \log_{e}(\sqrt{2}) - 0) - \frac{1}{2} \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx \right]$.$I = 2 \left[ \frac{1}{2} \log_{e} 2 - \frac{1}{2} (x - \sin^{-1} x) \Big|_0^1 \right]$.$I = \log_{e} 2 - (1 - \frac{\pi}{2}) = \log_{e} 2 + \frac{\pi}{2} - 1$.

समाकलन $\int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ का मान किसके बराबर है?

Similar Questions

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{-5}^{5}|x+2| d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

ऐसे सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ की संख्या कितनी है जिनके लिए सभी $x \in (0,1]$ के लिए $f(x) < x^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ हो?

$x > 0$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log t}{1+t} dt$. तो $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx=$

यदि $f(t) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx$,$n \in N$,है,तो $f(t+\pi) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module