समाकलन int limits_1^3 left((x-2)^4 sin^3(x-2) | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \limits_1^3 \left((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ $(i)$.गुणधर्म $\int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^b f(a+

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$2$

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(B) माना $I = \int \limits_1^3 \left((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ $(i)$.गुणधर्म $\int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $b=3$,हमें $a+b-x = 4-x$ प्राप्त होता है।$x$ को $4-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \limits_1^3 \left((4-x-2)^4 \sin^3(4-x-2) + (4-x-2)^{2019} + 1\right) dx$$I = \int \limits_1^3 \left((2-x)^4 \sin^3(2-x) + (2-x)^{2019} + 1\right) dx$चूँकि $(2-x)^4 = (x-2)^4$ और $\sin^3(2-x) = -\sin^3(x-2)$,तथा $(2-x)^{2019} = -(x-2)^{2019}$,हमें प्राप्त होता है:$I = \int \limits_1^3 \left(-(x-2)^4 \sin^3(x-2) - (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ $(ii)$.$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int \limits_1^3 \left(((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1) + (-(x-2)^4 \sin^3(x-2) - (x-2)^{2019} + 1)\right) dx$$2I = \int \limits_1^3 (1 + 1) dx = \int \limits_1^3 2 dx = 2[x]_1^3 = 2(3-1) = 4$.अतः,$I = 2$.

समाकलन $\int \limits_1^3 \left((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ का मान है

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$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \,dx = $

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = . . . . . .$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x=$ . . . . . . .

$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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