int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} log left(fra | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x$.फलन $f(x) = \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right)$

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$0$

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(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x$.फलन $f(x) = \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right)$ पर विचार करें।$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \log \left(\frac{2019-(-x)}{2019+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2019+x}{2019-x}\right)$.गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f(-x) = -\log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) = -f(x)$.चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।एक विषम फलन के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर निश्चित समाकलन हमेशा $0$ होता है,अर्थात $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.अतः,$I = 0$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x=$ . . . . . . .

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