સંકલન int limits_{1 / 2}^2 frac{tan ^{-1} x}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2} \log _{ e } 2$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{t}$ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.જ્યારે $x = 1/2, t = 2$ અને જ્યારે $x = 2, t = 1/2$.$I = \int \limits_2^{1 / 2} \frac{	an ^{-1}(1/t)}{1/t} \cdot (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1}(1/t)}{t} dt$.કારણ કે $t > 0$ માટે $	an^{-1}(1/t) = \cot^{-1} t$,તેથી $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} t}{t} dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{x} dx$ ... (ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{x} dx = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\pi / 2}{x} dx$.$2I = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2}^2 = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - \ln(1/2)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - (-\ln 2)) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2) = \pi \ln 2$.તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \ln 2$.

સંકલન $\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{x} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$\int_{ - 3}^3 {\frac{{{x^2}\sin 2x}}{{{x^2} + 1}}\,dx = } $

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx =$

$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx =$

$\int\limits_0^\pi {{e^{{{\cos }^4}x}}} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx, (n \in I)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module