intlimits_0^pi {{e^{{{cos }^4}x}}} cdot cos^5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I =

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi e^{\cos^4(\pi - x)} \cdot \cos^5(2n + 1)(\pi - x) \,dx$. કારણ કે $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી $\cos^4(\pi - x) = \cos^4 x$. વળી,$\cos(2n + 1)(\pi - x) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cdot \cos(2n + 1)x + \sin((2n + 1)\pi) \cdot \sin(2n + 1)x$. $(2n + 1)$ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ અને $\sin((2n + 1)\pi) = 0$. તેથી,$\cos(2n + 1)(\pi - x) = -\cos(2n + 1)x$. તેથી,$\cos^5(2n + 1)(\pi - x) = (-\cos(2n + 1)x)^5 = -\cos^5(2n + 1)x$. આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot (-\cos^5(2n + 1)x) \,dx = -I$. $2I = 0 \implies I = 0$.

$\int\limits_0^\pi {{e^{{{\cos }^4}x}}} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx, (n \in I)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

સંકલન $\int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ ની કિંમત છે

જો $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ હોય, તો

ધારો કે $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int \limits_{6}^{16} \frac{\log _{e} x^{2}}{\log _{e} x^{2}+\log _{e}\left(x^{2}-44 x+484\right)} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module