समाकलन $\int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ का मान है

मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $\int_{0}^{36} f(\frac{tx}{36}) dt = 4\alpha f(x)$ को संतुष्ट करता है। यदि $y = f(x)$ एक मानक परवलय है जो बिंदुओं $(2, 1)$ और $(-4, \beta)$ से होकर गुजरता है, तो $\beta^{\alpha}$ का मान . . . . . . है।

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x) \, dx = $

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \cdot \sin^2 6\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ द्वारा $f(x)=\int_{\frac{1}{x}}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$ दिया गया है। तो
$(A)$ $f(x)$,$[1, \infty)$ पर एकदिष्ट वर्धमान है
$(B)$ $f(x)$,$(0,1)$ पर एकदिष्ट ह्रासमान है
$(C)$ $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=0$,सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए
$(D)$ $f\left(2^x\right)$,$\mathbb{R}$ पर $x$ का एक विषम फलन है