समाकल int_{-1}^{1} left{ frac{x^{2013}}{e^{|x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.हम समाकल को दो भागों में विभाजित कर सकते ह

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$2(1-e^{-1})$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.हम समाकल को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.माना $f(x) = \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)}$. चूँकि $f(-x) = \frac{(-x)^{2013}}{e^{|-x|}((-x)^{2}+\cos(-x))} = \frac{-x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} = -f(x)$, इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। अतः, $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.माना $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}} = e^{-|x|}$. चूँकि $g(-x) = e^{-|-x|} = e^{-|x|} = g(x)$, इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है। अतः, $\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx$.समाकल की गणना करने पर: $2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1} = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.अतः, $I = 0 + 2(1 - e^{-1}) = 2(1 - e^{-1})$.

समाकल $\int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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