समाकलन int_{-1}^1 left( frac{x^3 + |x| + 1}{x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$ है। चूंकि हर $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है, हम समाकलन को दो भागों में

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$2 \log_e 2$

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(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$ है। चूंकि हर $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है, हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1}^0 \frac{x^3 - x + 1}{(|x| + 1)^2} dx + \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1}{(|x| + 1)^2} dx$। पहले भाग के लिए, $x = -t$ लें, तो $dx = -dt$ होगा। जब $x$, $-1$ से $0$ तक जाता है, तो $t$, $1$ से $0$ तक जाता है। $\int_1^0 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} (-dt) = \int_0^1 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} dt$। अतः, $I = \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1 - x^3 + x + 1}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2x + 2}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2}{x + 1} dx$। $I = 2 [\log_e(x + 1)]_0^1 = 2(\log_e 2 - \log_e 1) = 2 \log_e 2$।

समाकलन $\int_{-1}^1 \left( \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) \, dx=$

$\int_0^{\pi /2} e^x \sin x \, dx = $

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मान लीजिए $[x]$ और $\{x\}$ क्रमशः एक वास्तविक संख्या $x$ का पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग हैं। समाकलन $\int_0^5 [x]\{x\} dx$ का मान है

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