સંકલન int_0^infty frac{log_e(x)}{x^2+4} dx નુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ આદેશ લેતા, $dx = 2 dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi \log_e(2)}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ આદેશ લેતા, $dx = 2 dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.બીજા સંકલન માટે, $t = 1/u$ લેતા, $dt = -1/u^2 du$. સીમાઓ $\infty$ થી $0$ માં બદલાશે.$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.તેથી, $I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$I = \int\limits_0^1 \sqrt[3]{2x^3 - 3x^2 - x + 1} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^5-x^3 \cos x+\sin^3 x-3) \, dx = $ . . . . . .

$\int_{ - 1}^1 {\log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right)\,dx} = $

$\int_{-3}^3 \sin ^7 x \cos ^{16} x \,dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + {e^x}}}\,dx = } $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module