समाकलन int x^3 cos x , dx का मान है: | vedclass

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Question

(A) खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए, माना $u = x^3$ और $dv = \cos x \, dx$ है।चरण $1$: $\int x^3 \cos x \, dx = x^3

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$x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + c$

Vedclass · Answer

(A) खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए, माना $u = x^3$ और $dv = \cos x \, dx$ है।चरण $1$: $\int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \int 3x^2 \sin x \, dx$।चरण $2$: $\int 3x^2 \sin x \, dx$ के लिए, माना $u = 3x^2, dv = \sin x \, dx \implies du = 6x \, dx, v = -\cos x$ है।अतः, $\int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x - \int (-6x \cos x) \, dx = -3x^2 \cos x + 6 \int x \cos x \, dx$।चरण $3$: $\int x \cos x \, dx$ के लिए, माना $u = x, dv = \cos x \, dx \implies du = dx, v = \sin x$ है।अतः, $\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x$।चरण $4$: सभी भागों को संयोजित करने पर: $x^3 \sin x - (-3x^2 \cos x + 6(x \sin x + \cos x)) + c = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + c$।

समाकलन $\int x^3 \cos x \, dx$ का मान है:

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