समाकल int_{0}^{infty} e^{-2x} (sin 2x + cos 2 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$.हम मानक सूत्र $\int e^{ax} (f(x) + \frac{1}{a} f'(x)) dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + C

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$1/2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$.हम मानक सूत्र $\int e^{ax} (f(x) + \frac{1}{a} f'(x)) dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + C$ का उपयोग करते हैं।यहाँ $a = -2$ और $f(x) = \sin 2x$ है,इसलिए $f'(x) = 2 \cos 2x$ है।अतः,समाकल $\left[ \frac{1}{-2} e^{-2x} \sin 2x ight]_{0}^{\infty}$ होगा।सीमाओं को लागू करने पर:जब $x 	o \infty$,तो $e^{-2x} 	o 0$,इसलिए पद $0$ हो जाता है।जब $x = 0$,तो $\sin(0) = 0$,इसलिए पद $0$ हो जाता है।सीधे गणना करने पर:$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin 2x dx = 1/4$ और $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos 2x dx = 1/4$ प्राप्त होता है।अतः,$I = 1/4 + 1/4 = 1/2$।

समाकल $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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