वे $a$ और $b$ के मान,जिनके लिए समीकरण निकाय $2x + 3y + 6z = 8$,$x + 2y + az = 5$,और $3x + 5y + 9z = b$ का कोई हल नहीं है,हैं:

समीकरणों की प्रणाली $2x + y + z = \beta$,$10x - y + \alpha z = 10$ और $4x + 3y - z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व किस पर निर्भर करता है?

कथन $-1$: रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में स्थित $\alpha$ के केवल एक मान के लिए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है।
कथन $-2$: $\alpha$ में समीकरण
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में केवल एक हल है।

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x+y+3z=0$,$x+3y+k^{2}z=0$,और $3x+y+3z=0$ का किसी $k \in R$ के लिए एक शून्येतर हल $(x, y, z)$ है,तो $x + (y/z)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $b = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय पर विचार करें:
$x+y-z=2, x+2y+\alpha z=1, 2x-y+z=\beta$. यदि निकाय के अनंत हल हैं,तो $\alpha+\beta$ का मान $.....$ है।