वास्तविक संख्याओं alpha और beta के लिए,निम्नल | vedclass

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Question

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी $0$ होने चाह

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(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी $0$ होने चाहिए।सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \ 1 & 2 & \alpha \ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 + \alpha) - 1(1 - 2\alpha) - 1(-1 - 4) = 2 + \alpha - 1 + 2\alpha + 5 = 3\alpha + 6$.$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = -2$.अब,$\alpha = -2$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:$x + y - z = 2$$x + 2y - 2z = 1$$2x - y + z = \beta$अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) की कोटि (rank) $3$ से कम होनी चाहिए। $\Delta_2 = 0$ का उपयोग करते हुए:$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \ 1 & 1 & -2 \ 2 & \beta & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 2\beta) - 2(1 + 4) - 1(\beta - 2) = 1 + 2\beta - 10 - \beta + 2 = \beta - 7$.$\Delta_2 = 0$ रखने पर,हमें $\beta = 7$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = -2 + 7 = 5$.

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