यदि फलन f(x) = begin{cases} (1+|sin x|)^{frac | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ को $x=0$ पर सतत होने के लिए, $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले, बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना

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$p=-\frac{2}{3}, q=e^{2/3}$

Vedclass · Answer

(D) $f(x)$ को $x=0$ पर सतत होने के लिए, $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले, बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}} = \lim_{x 	o 0^-} (1-\sin x)^{\frac{p}{-\sin x}}$ (क्योंकि $x माना $h = -x$, जैसे $x 	o 0^-$, $h 	o 0^+$। तब $\sin x = -\sin h$।$\lim_{h 	o 0^+} (1+\sin h)^{\frac{p}{\sin h}} = e^{\lim_{h 	o 0^+} \sin h \cdot \frac{p}{\sin h}} = e^p$.अब, दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^+} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{2/3}$.चूँकि $f(0) = q$, सीमाओं की तुलना करने पर:$e^p = q = e^{2/3}$.अतः, $p = 2/3$ और $q = e^{2/3}$।यदि मूल प्रश्न में घात $\frac{p}{\sin x}$ है, तो $LHL$ $= e^{-p}$ होगा, जिससे $p = -2/3$ और $q = e^{2/3}$ प्राप्त होगा।

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$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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