$2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ और $a\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु $A, B, C$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जहाँ $m\angle C = 90^\circ$ है,तो $a$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3} \vec{c}=\overrightarrow{0}$,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है। यदि $\vec{b}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ और $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ है,तो $|\vec{b}|$ ज्ञात कीजिए।

$AB=a$ और $AC=b$ एक $\triangle ABC$ की भुजाएँ हैं। $P$,$AB$ पर एक बिंदु है और $Q$,$BC$ पर एक बिंदु है ताकि $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$ और $\frac{BQ}{QC}=\frac{1}{2}$ हो। यदि $AQ$ और $CP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ है और $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $7$ वर्ग इकाई है,तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल (उसी वर्ग इकाई में) क्या होगा?

सदिश $2i + j - 3k$ का सदिश $i - 2j + k$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A=(3,4,0), B=(4,4,4), C=(-6,2,3)$ और $D=(1,1,2)$ है। यदि $\theta$ रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच का न्यून कोण है, तो $\cos \theta=$