समतल का सदिश समीकरण जो रेखाओं $r = (i + j) + \lambda (i + 2j - k)$ और $r = (i + j) + \mu (-i + j - 2k)$ को समाहित करता है,है

बिंदु $(-1, -5, -10)$ की रेखा $\vec{r} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(1, 0, -3)$ की समतल $x - y - z = 9$ से रेखा $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 6}{-6}$ के समांतर मापी गई दूरी है ($\text{ इकाई}$ में)

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का कोण $\theta$ है

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $L$ वह रेखा है जो $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{b}-\vec{c}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। यदि $\pi$ एक समतल है जो $2\vec{a}-\vec{b}, 2\vec{b}-\vec{c}$ और $2\vec{c}-\vec{a}$ बिंदुओं से होकर गुजरता है, तो $L$ और $\pi$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं: