સદિશો $a = xi + yj + zk$ અને $b = j$ એવા છે કે જેથી $a, c, b$ એક જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે. તો $c$ શું છે?

$a=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, b=\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}, c=4 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે અને સદિશ $r$ એ સદિશો $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે. જો $r \cdot a=9$ હોય,તો $r=$

ધારો કે $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3 \hat{i} - \beta \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,ત્રણ સદિશો છે. જો $\overrightarrow{a}$ નો $\overrightarrow{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{3}$ હોય અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $i + 2j + 3k$ અને $-3i - 2j + k$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે (ચોરસ એકમમાં).

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ત્રણ સદિશો છે, જે દરેકનું માન $\sqrt{2}$ છે, જેથી $(\vec{a}, \vec{b})=(\vec{b}, \vec{c})=(\vec{c}, \vec{a})=\frac{\pi}{3}$ થાય. જો $\vec{x}=\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$ અને $\vec{y}=\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a})$ હોય, તો

પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં આવેલા સમઘનને ધ્યાનમાં લો જેની બાજુઓ $OP, OQ$ અને $OR$ ની લંબાઈ $1$ છે,જે અનુક્રમે $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ પર છે,જ્યાં $O(0,0,0)$ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $S\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ એ સમઘનનું કેન્દ્ર છે અને $T$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સામેનું સમઘનનું શિરોબિંદુ છે જેથી $S$ એ વિકર્ણ $OT$ પર આવેલું હોય. જો $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP}, \overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR}$ અને $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST}$ હોય,તો $|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})|$ નું મૂલ્ય શોધો.