$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सह-आदिम किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $3 \text{ घन इकाई}$ है। $(\vec{a} \times \vec{b}), (\vec{a} \times 2\vec{c}), (\vec{b} \times 2\vec{c})$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन (घन इकाई में) है:

यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $158 \text{ घन इकाई}$ है,जिसकी सह-अंतस्थ कोर (coterminous edges) सदिशों $\bar{a} = (\hat{i} + \hat{j} + n \hat{k})$,$\bar{b} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} - n \hat{k})$ और $\bar{c} = (\hat{i} + n \hat{j} + 3 \hat{k})$ द्वारा दी गई हैं,जहाँ $n \geq 0$,तो $n$ का मान क्या है?

सदिशों $\hat{i} + m \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + m \hat{k}$ और $m \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होता है जब $m$ का मान है

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ को $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, तो $[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r}]$ का मान है

यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$, तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।