$O \equiv (0,0,0)$, $A \equiv (2,-2,1)$, $B \equiv (5,-4,4)$ અને $C \equiv (1,-2,4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો. ($\text{ઘન એકમ}$ માં)

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ સમતલીય સદિશો હોય,તો $\lambda = . . . .$

$i \cdot (j \times k) + j \cdot (k \times i) + k \cdot (i \times j) = $

બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $4 \hat{i}-\hat{j}-\lambda \hat{k}$ છે. જો બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ એક જ સમતલમાં હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

$[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$

$\lambda$ ના કયા મૂલ્ય માટે,$\hat{i} - 6\hat{j} + 10\hat{k}$,$-\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$,$5\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$,અને $7\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા શિરોબિંદુઓવાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $11$ ઘન એકમ થાય?