એક ટ્રેન રૂટ પર $15$ સ્ટેશન છે અને ટ્રેનને આ $15$ સ્ટેશનમાંથી બરાબર $5$ સ્ટેશન પર રોકવાની છે. જો તે ઓછામાં ઓછા બે ક્રમિક સ્ટેશન પર રોકાય,તો ટ્રેન કેટલી રીતે રોકી શકાય?

એક હાઈસ્કૂલમાં,$6$ છોકરાઓ $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ અને $5$ છોકરીઓ $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ ના જૂથમાંથી એક સમિતિ બનાવવાની છે.
$(i)$ ધારો કે $\alpha_1$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં બરાબર $3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ હોય.
$(ii)$ ધારો કે $\alpha_2$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં ઓછામાં ઓછા $2$ સભ્યો હોય,અને છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન હોય.
$(iii)$ ધારો કે $\alpha_3$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય.
$(iv)$ ધારો કે $\alpha_4$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $4$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય અને $M_1$ અને $G_1$ બંને એકસાથે સમિતિમાં ન હોય.

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ નું મૂલ્ય	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ નું મૂલ્ય	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ નું મૂલ્ય	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ નું મૂલ્ય	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

સાચો વિકલ્પ છે:

$MAYANK$ શબ્દના અક્ષરોમાંથી ચાર અક્ષરના કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય કે જેમાં બંને $A$ આવે પરંતુ ક્યારેય સાથે ન હોય?

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ જો $n$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા હોય,તો $n$ એ $(n-1)!$ ને ભાગે છે.
$II.$ એવી અનંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેના માટે $n^3+2n^2+n$ એ $n!$ ને ભાગે છે.

ત્રણ શાળાઓ અનુક્રમે $2, 4$ અને $6$ વિદ્યાર્થીઓને સમર કેમ્પમાં મોકલે છે. $12$ વિદ્યાર્થીઓને $1, 2, 3, 4, 5, 6$ નંબરવાળા $6$ રૂમમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે દરેક રૂમમાં બરાબર $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને બંને એક જ શાળાના હોય. વિદ્યાર્થીઓને રૂમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$xyz = 90$ સમીકરણના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી થાય :-