$(p, q)$ બિંદુ દ્વારા સમાંતર અક્ષોમાં રૂપાંતરિત કરતા, સમીકરણ $2x^2 + 3xy + 4y^2 + x + 18y + 25 = 0$ એ $2x^2 + 3xy + 4y^2 = 1$ બને છે. તો:

ઉગમબિંદુ બદલ્યા વગર અક્ષોને કેટલા ખૂણે ફેરવવામાં આવે જેથી $x^2+4xy-y^2=0$ નું નવા યામ $(X, Y)$ માં રૂપાંતરિત સમીકરણ $XY$ પદ ધરાવતું ન હોય?

જો અક્ષોને $A(7,5), B(-5,-7), C(7,-7)$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના લંબકેન્દ્ર પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે,તો નવી પદ્ધતિમાં ત્રિકોણના અંતઃકેન્દ્રના યામ શું હશે?

વિધાન $(A) :$ બિંદુઓ $A (20, 22), B (21, 24)$ અને $C (22, 23)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ બિંદુઓ $P (0, 0), Q (1, 2)$ અને $R (2, 1)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
કારણ $(R) :$ અક્ષોના સ્થાનાંતર હેઠળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ રહે છે.

જો $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ એ $\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}$ અને $\beta=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} y$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ $4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ નું રૂપાંતરિત સમીકરણ હોય,તો $c(a+b+d)=$

જ્યારે અક્ષોને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે બિંદુ $P$ ના નવા યામ $(1, -1)$ છે. મૂળભૂત પ્રણાલીમાં $P$ ના યામ શું હશે?