$5$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો એકબીજાને $(1,2)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને $4x+3y=10$ એ તેમનો સામાન્ય સ્પર્શક છે. આપેલા બે વર્તુળોમાંથી તે વર્તુળનું સમીકરણ શોધો જેનો અમુક ભાગ દરેક ચરણમાં આવેલો હોય.

ધારો કે $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,જ્યાં $r > 0$. ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S_0 = 0$ અને,$n \geq 1$ માટે,$S_n$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. $n \geq 1$ માટે,$C_n$ એ $(S_{n-1}, 0)$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $D_n$ એ $(S_{n-1}, S_{n-1})$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $k$ એ $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $C_n$ ની સંખ્યા છે. ધારો કે $l$ એ આ $k$ વર્તુળોમાં એવા વર્તુળોની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા છે કે જેથી કોઈ પણ બે વર્તુળો એકબીજાને છેદે નહીં. તો
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $D_n$ ની સંખ્યા છે
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

બિંદુ $(1,0)$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષને સમાંતર ન હોય તેવી એક સીધી રેખા વક્ર $2x^2+5y^2-7x=0$ ને બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. ઉગમબિંદુ આગળ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો કેટલો છે ($^\circ$ માં)?

જો વર્તુળો $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ અને $x^2+y^2+30x-2y+1=0$ પર દોરેલા ટ્રાન્સવર્સ સામાન્ય સ્પર્શકોની જોડી અને સીધા સામાન્ય સ્પર્શકોની જોડીના છેદબિંદુઓ અનુક્રમે $T$ અને $D$ હોય,તો $TD$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

જો $y=mx+c$ એ પરવલય $y^2=4\sqrt{k}x$ અને વર્તુળ $2x^2+2y^2=k$ નો સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો આવા સામાન્ય સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 4$ એ બિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(3, 4)$ ને જોડતી રેખાને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. જો $\frac{BP}{PA} = \alpha$ અને $\frac{BQ}{QA} = \beta$ હોય,તો $\alpha$ અને $\beta$ એ કયા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે?