$O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो वृत्त दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ (या $B$) से होकर $OO'$ के समानांतर एक रेखा $PQ$ खींची गई है जो वृत्तों को $P$ और $Q$ पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि $PQ = 2 OO'$.

(N/A) दिया है: $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ से होकर $OO'$ के समानांतर एक रेखा $PQ$ खींची गई है,जो वृत्तों को $P$ और $Q$ पर काटती है।
सिद्ध करना है: $PQ = 2 OO'$.
रचना: $OC \perp PA$ और $O'D \perp AQ$ खींचिए।
उपपत्ति:
$1$. वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$PA = 2 CA$ (चूंकि $OC \perp PA$) $...(1)$
$AQ = 2 AD$ (चूंकि $O'D \perp AQ$) $...(2)$
$2$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$PA + AQ = 2 CA + 2 AD$
$PQ = 2(CA + AD)$
$3$. चूंकि $PQ \parallel OO'$,$OC \perp PQ$,और $O'D \perp PQ$,इसलिए चतुर्भुज $CDO'O$ एक आयत है।
अतः,$CD = OO'$.
$4$. समीकरण $PQ = 2(CA + AD)$ में $CD = OO'$ रखने पर:
$PQ = 2 CD = 2 OO'$.
अतः,$PQ = 2 OO'$ सिद्ध हुआ।