दो चुंबकीय द्विध्रुव $X$ और $Y$ को $d$ दूरी पर रखा गया है,जिनकी अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं। $Y$ का द्विध्रुव आघूर्ण $X$ से दोगुना है। $q$ आवेश वाला एक कण उनके मध्य बिंदु $P$ से गुजर रहा है,जो चित्र में दिखाए अनुसार क्षैतिज रेखा के साथ $\theta = 45^\circ$ का कोण बनाता है। उस क्षण कण पर लगने वाले बल का परिमाण क्या होगा? ($d$ द्विध्रुव के आयामों से बहुत बड़ा है)

  • A
    $\left( {\frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}} \right)\frac{M}{{{{\left( {d/2} \right)}^3}}} \times {q^v}$
  • B
    $0$
  • C
    $\left( {\frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}} \right)\frac{2M}{{{{\left( {d/2} \right)}^3}}} \times {q^v}$
  • D
    $\sqrt 2 \left( {\frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}} \right)\frac{M}{{{{\left( {d/2} \right)}^3}}} \times {q^v}$

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चित्र में बिंदु $O$ पर रखी एक छोटी चुंबकीय सुई $P$ दिखाई गई है। तीर इसकी चुंबकीय आघूर्ण की दिशा दर्शाता है। अन्य तीर एक अन्य समान चुंबकीय सुई $Q$ की विभिन्न स्थितियों (और चुंबकीय आघूर्ण के अभिविन्यास) को दर्शाते हैं।
$(a)$ किस विन्यास में निकाय संतुलन में नहीं है?
$(b)$ किस विन्यास में निकाय $(i)$ स्थायी,और $(ii)$ अस्थायी संतुलन में है?
$(c)$ दिखाए गए सभी विन्यासों में से कौन सा विन्यास न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा के अनुरूप है?

एक छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $0.5 \text{ A m}^2$ है। इसे $8 \times 10^{-2} \text{ T}$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लटकाया गया है। इसे इसकी सबसे स्थिर स्थिति से सबसे अस्थिर स्थिति में घुमाने में किया गया कार्य है:

दो छोटे चुंबक $AB$ और $CD$, $X-Y$ समतल में हैं और $X$-अक्ष के समानांतर हैं। उनके केंद्रों के निर्देशांक क्रमशः $(0,2)$ और $(2,0)$ हैं। $CD$ के उत्तर-दक्षिण ध्रुवों को जोड़ने वाली रेखा $AB$ के विपरीत है और धनात्मक $X$-अक्ष के अनुदिश है। बिंदु $P(2,2)$ पर $AB$ और $CD$ के कारण परिणामी चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $100 \times 10^{-7} \ T$ है। जब चुंबक $CD$ के ध्रुवों को उलट दिया जाता है, तो परिणामी क्षेत्र प्रेरण $50 \times 10^{-7} \ T$ हो जाता है। $AB$ और $CD$ के चुंबकीय आघूर्ण के मान ($Am^2$ में) हैं:

समान द्रव्यमान और त्रिज्या के एक हुप और एक ठोस बेलन को स्थायी चुंबकीय पदार्थ से बनाया गया है,जिसमें उनका चुंबकीय आघूर्ण उनकी संबंधित अक्षों के समानांतर है। लेकिन हुप का चुंबकीय आघूर्ण ठोस बेलन का दोगुना है। उन्हें एक समान चुंबकीय क्षेत्र में इस प्रकार रखा गया है कि उनके चुंबकीय आघूर्ण क्षेत्र के साथ एक छोटा कोण बनाते हैं। यदि हुप और बेलन के दोलन काल क्रमशः $T_h$ और $T_c$ हैं,तो उनके बीच का संबंध क्या है?

$ 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2 $ के चुंबकीय आघूर्ण और $ 12 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2 $ के जड़त्व आघूर्ण वाला एक चुंबकीय द्विध्रुव $ 2 \times 10^{-2} \text{ T} $ के चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करता है। द्विध्रुव द्वारा $ 20 $ दोलन पूरे करने में लिया गया समय ज्ञात कीजिए (मान लीजिए $ \pi \simeq 3 $)। ($\text{ s}$ में)

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