$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{3}+1$ છે. જો જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ $\frac{\pi}{k}$ અને $\frac{2 \pi}{k}$ માપના ખૂણા આંતરે,જ્યાં $k>0$,તો $[k]$ ની કિંમત શોધો [નોંધ: $[k]$ એ $k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે].

ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $18$ છે,જેમાં બાજુ $AB$ એ બાજુ $CD$ ને સમાંતર છે અને $AB = 2CD$ છે. ધારો કે $AD$ એ $AB$ અને $CD$ ને લંબ છે. જો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની અંદર એક વર્તુળ દોરવામાં આવે જે બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે,તો તેની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=16$ પરના બિંદુઓ $(4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ અને $(4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ ને જોડતી જીવાની લંબાઈ કેટલી થાય?

પ્રદેશ $R = \{( x , y ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x \geq 0 \text{ અને } y^2 \leq 4- x \}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $F$ એ બધા વર્તુળોનો સમૂહ છે જે $R$ માં સમાયેલ છે અને જેના કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $C$ એ $F$ માં સૌથી મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ છે જ્યાં વર્તુળ $C$ વક્ર $y^2=4- x$ ને મળે છે.
$(1)$ વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા. . . . . .
$(2)$ $\alpha$ નું મૂલ્ય. . . . .
$(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો:

$3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ રેખાઓ જે વર્તુળના બે સ્પર્શકો હોય,તે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ ના સંદર્ભમાં $(1, 3)$ બિંદુનું પ્રતિવર્તી બિંદુ કયું છે?