बोहर के परमाणु मॉडल का उपयोग करके,एक इलेक्ट्रॉन की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या के लिए समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) बोहर का परमाणु मॉडल चित्र में दर्शाया गया है।
मान लीजिए कि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m$,उसका आवेश $e$,$n^{th}$ कक्षा में उसकी रैखिक गति $v_n$,कक्षा की त्रिज्या $r_n$ और नाभिक पर आवेश $Ze$ है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच कूलम्बिक आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है। अतः,
$\frac{m v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(e)}{r_n^2} = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n^2}$ ... $(1)$
बोहर की दूसरी अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_n$ इस प्रकार है:
$L_n = m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $m v_n^2 = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n}$ है।
दोनों पक्षों को $r_n^2$ से गुणा करने पर,$m v_n^2 r_n^2 = \frac{Z e^2 r_n}{4 \pi \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$m v_n r_n = \sqrt{\frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}}$।
इसे समीकरण $(2)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{n h}{2 \pi} = \sqrt{\frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2} = \frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}$
$r_n$ के लिए हल करने पर:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$