सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=1$,$|\bar{b}|=4$ और $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$ है। यदि $\bar{c}=2 \bar{a} \times \bar{b}-3 \bar{b}$ है,तो $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

माना $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
अभिकथन $(A)$ : सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$,$\overrightarrow{a}$ के लिए सत्य है।
तर्क $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,और $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

मान लीजिए $\vec{a} = \vec{j} - \vec{k}$ और $\vec{c} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$ है। तो सदिश $\vec{b}$ ज्ञात कीजिए जो $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ को संतुष्ट करता है।

$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ तीन इकाई सदिश हैं। मान लीजिए $\vec{p}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ और $\vec{q}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})$ है। यदि $\vec{p} \cdot \vec{u}=\frac{3}{2}, \vec{p} \cdot \vec{v}=\frac{7}{4}, |\vec{p}|=2$ और $\vec{v}=K \vec{q}$ है,तो $K=$

मान लीजिए कि $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,जहाँ $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3$ और $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$ है। तो $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिशों $\vec{a} = 2\hat{i} - 6\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।