ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ ના પરિમાણો શું છે? એક $H$-પરમાણુ ધ્યાનમાં લો. પરમાણુના પરિમાણો: $e, m, v, R$ અને $\mu_0$ નો ઉપયોગ કરીને $\chi$ ના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ બનાવીને $\chi$ માટેનું સૂત્ર (અચળાંક સુધી) અનુમાનિત કરો. અહીં,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$v$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ,$R$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે. મેળવેલ સંખ્યાનો અંદાજ લગાવો અને ઘણી ઘન સામગ્રીઓ માટે $|\chi| \approx 10^{-5}$ ના મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરો.

(A) ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નો ગુણોત્તર છે. $M$ અને $H$ બંનેના એકમો સમાન $(A/m)$ હોવાથી,$\chi$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે,એટલે કે $[M^0 L^0 T^0]$.
$e, m, v, R, \mu_0$ નો ઉપયોગ કરીને $\chi$ માટેનું સૂત્ર બનાવવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu_0$ ના પરિમાણો $[M L T^{-2} Q^{-2}]$ છે અને $e^2$ ના પરિમાણો $[Q^2]$ છે. તેથી,$\mu_0 e^2$ ના પરિમાણો $[M L T^{-2}]$ છે.
ધારો કે $\chi = \mu_0 e^2 m^a v^b R^c$.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^0 L^0 T^0] = [M L T^{-2}] [M]^a [L T^{-1}]^b [L]^c$.
$M, L, T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા:
$M$ માટે: $1 + a = 0 \implies a = -1$.
$T$ માટે: $-2 - b = 0 \implies b = -2$.
$L$ માટે: $1 + b + c = 0 \implies 1 - 2 + c = 0 \implies c = 1$.
આમ,$\chi \propto \frac{\mu_0 e^2 R}{m v^2}$.
બોહરના મોડેલનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m R}$,તેથી $\frac{e^2}{m R} \approx v^2$. આ કિંમત મૂકતા,$\chi \approx \mu_0 \epsilon_0 v^2 \approx \frac{v^2}{c^2}$.
આપેલ છે કે $v \approx \alpha c$ (જ્યાં $\alpha \approx 1/137$),$\chi \approx \alpha^2 \approx (1/137)^2 \approx 5 \times 10^{-5}$,જે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે $10^{-5}$ ના ક્રમ સાથે સુસંગત છે.