निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है/हैं?

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Question

(C, D) $I_{1}=\int_{-2}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}}$ के लिए, समाकल्य धनात्मक है, इसलिए $I_{1} > 0$ है। यदि हम $x=\frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करते हैं, तो $dx

Vedclass · Accepted Answer

$I_{1}$ का मूल्यांकन करने के लिए, $x=\frac{1}{t}$ रखना संभव नहीं है

Vedclass · Answer

(C, D) $I_{1}=\int_{-2}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}}$ के लिए, समाकल्य धनात्मक है, इसलिए $I_{1} > 0$ है। यदि हम $x=\frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करते हैं, तो $dx = -\frac{1}{t^{2}} dt$ होगा। सीमाएं $x=-2$ से $t=-1/2$ और $x=2$ से $t=1/2$ में बदल जाती हैं। $I_{1} = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{-dt/t^{2}}{4+1/t^{2}} = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{-dt}{4t^{2}+1}$। चूंकि समाकल्य धनात्मक है, इसलिए समाकलन धनात्मक होना चाहिए, लेकिन यह प्रतिस्थापन एक ऋणात्मक मान देता है, जो $t=0$ पर $1/t$ की असंततता के कारण गलत है। अतः, यह संभव नहीं है। $I_{2}=\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} dx$ के लिए, यदि हम $x=\operatorname{cosec} 	heta$ रखते हैं, तो $\operatorname{cosec} 	heta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है। चूंकि $x \in (0, 1)$, $x$ का परिसर $\operatorname{cosec} 	heta$ के परिसर से मेल नहीं खाता है। अतः, यह संभव नहीं है। इसलिए, विकल्प $C$ और $D$ सही हैं।

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