विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूहों के संबंध | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $A$,$n 	imes n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमे

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विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है

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(B) मान लीजिए $A$,$n 	imes n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\det(A^T) = \det(-A)$ प्राप्त होता है। चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$,इसलिए $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ होता है। यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^n = -1$,अतः $\det(A) = -\det(A)$,जिसका अर्थ है कि $2 \det(A) = 0$,या $\det(A) = 0$। जिस आव्यूह का सारणिक $0$ होता है,उसे अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह कहा जाता है। इसलिए,विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह हमेशा अव्युत्क्रमणीय होता है।

विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूहों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

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यदि $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ है,तो $A + A^{\prime} = I$ होगा,यदि $\alpha$ का मान . . . है।

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $B^{\prime}AB$ सममित या विषम-सममित है,यदि $A$ क्रमशः सममित या विषम-सममित है।

यदि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,तो $ABA$ है

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & a & a \\ 2b & b & -b \\ c & -c & c \end{bmatrix}$ लांबिक (orthogonal) है, तो $a, b, c$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrices) हैं,तो $(AB)^{\prime} =$ . . . . . . .

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