$\Delta ABC$ में सामान्य संकेतन के साथ,$\left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \left( \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} \right) \left( \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_1} \right) = \frac{K R^3}{a^2 b^2 c^2}$ जहाँ $K$ का मान किसके बराबर है?

अभिकथन $(A)$: यदि $A=15^{\circ}, B=17^{\circ}$ और $C=13^{\circ}$ है,तो $\cot 2A + \cot 2B + \cot 2C = \cot 2A \cot 2B \cot 2C$ है।
तर्क $(R)$: एक $\triangle PQR$ में,$\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} + \tan \frac{Q}{2} \tan \frac{R}{2} + \tan \frac{P}{2} \tan \frac{R}{2} = 1$ होता है।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

मान लीजिए $S = \{\theta \in (0, 2\pi) : 7 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 2\theta = 2\}$ है। तो,$\theta \in S$ के लिए सभी समीकरणों $x^2 - 2(\tan^2 \theta + \cot^2 \theta)x + 6 \sin^2 \theta = 0$ के मूलों का योग क्या है?

यदि $\alpha$ और $\beta$ न्यून कोण हैं, इस प्रकार कि $\alpha+\beta$ और $\alpha-\beta$ समीकरण $\tan^2\theta - 4\tan\theta + 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं, तो $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः हैं:

त्रिभुज $PQR$ में सामान्य संकेतों के साथ,$\angle R = \frac{\pi}{2}$ है। यदि $\tan \frac{P}{2}$ और $\tan \frac{Q}{2}$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ के मूल हैं,तो:

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ समीकरण $b^2 = ac$ को संतुष्ट करती हैं। तो $\frac{\sin A \cot C + \cos A}{\sin B \cot C + \cos B}$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय क्या है?