फलन को सरलतम रूप में लिखिए: tan ^{-1}left(fra | vedclass

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Question

(A) व्यंजक $	an ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}ight)$ पर विचार करें।माना $x = a 	an 	heta$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{a} = 	an \

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$3 	an ^{-1} \frac{x}{a}$

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(A) व्यंजक $	an ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}ight)$ पर विचार करें।माना $x = a 	an 	heta$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{a} = 	an 	heta$ या $	heta = 	an ^{-1}\left(\frac{x}{a}ight)$।$x = a 	an 	heta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$	an ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} (a 	an 	heta) - (a 	an 	heta)^{3}}{a^{3} - 3 a (a 	an 	heta)^{2}}ight)$$= 	an ^{-1}\left(\frac{3 a^{3} 	an 	heta - a^{3} 	an ^{3} 	heta}{a^{3} - 3 a^{3} 	an ^{2} 	heta}ight)$$= 	an ^{-1}\left(\frac{a^{3}(3 	an 	heta - 	an ^{3} 	heta)}{a^{3}(1 - 3 	an ^{2} 	heta)}ight)$$= 	an ^{-1}\left(\frac{3 	an 	heta - 	an ^{3} 	heta}{1 - 3 	an ^{2} 	heta}ight)$त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $	an 3	heta = \frac{3 	an 	heta - 	an ^{3} 	heta}{1 - 3 	an ^{2} 	heta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$= 	an ^{-1}(	an 3 	heta)$चूंकि $\frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{-1}{\sqrt{3}} \leq 	an 	heta \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{6} \leq 	heta \leq \frac{\pi}{6}$,अतः $-\frac{\pi}{2} \leq 3	heta \leq \frac{\pi}{2}$।अतः,$	an ^{-1}(	an 3 	heta) = 3 	heta = 3 	an ^{-1} \frac{x}{a}$।

फलन को सरलतम रूप में लिखिए: $\tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right), a>0 ; \frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}$

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