નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
જો $A, B, C, D$ એવા ચાર બિંદુઓ હોય કે જેથી $\angle BAC = 30^{\circ}$ અને $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય, તો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન:
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ, વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો, તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
જો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય, તો ચાપ $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર $D$ આગળ આંતરાયેલો ખૂણો $(\angle BDC)$ એ પરિઘ પરના ખૂણા $(\angle BAC)$ કરતા બમણો હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle BAC = 30^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થવો જોઈએ.
જોકે, $\angle BDC = 60^{\circ}$ એ $D$ કેન્દ્ર હોવા માટે જરૂરી શરત છે પણ પૂરતી નથી. એવા અસંખ્ય બિંદુઓ $D$ હોઈ શકે છે જેના માટે $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય (ઉદાહરણ તરીકે, $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ગુરુચાપ પરનું કોઈપણ બિંદુ).
તેથી, $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય તે જરૂરી નથી.