$f(x) = \begin{cases} [\cos \pi x]; & x \leqslant 1 \\ 2\{x\} - 1; & x > 1 \end{cases}$ માટે $x = 1$ આગળ વિકલનીયતા વિશે ટિપ્પણી કરો,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય અને $\{\cdot\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે.

જો $f(x) = [x]$ હોય,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે,તો $f^{\prime}(1^{+}) = \dots$.

વિધેય $f(x) = \begin{cases} e^x + ax, & x < 0 \\ b(x - 1)^2, & x \geq 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે. તો

જો $f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 1 + \sin x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \end{cases}$ હોય,તો $f'(0) = $

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x-x^2+(x-1) \sin x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને $g: R \rightarrow R$ એ કોઈ પણ વિધેય છે. ધારો કે $f g: R \rightarrow R$ એ ગુણાકાર વિધેય છે જે $(f g)(x)=f(x) g(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ જો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત હોય,તો $f g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(B)$ જો $fg$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત છે
$(C)$ જો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $f g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(D)$ જો $fg$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે

વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c, & x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$ વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $(b - c)$ ની કિંમત શોધો.