int {frac{{2x + 5}}{{sqrt {7 - 6x - {x^2}} }} | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{2x + 5}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के रूप में व्यक्त क

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$(-2, -1)$

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(A) समाकलन $I = \int \frac{2x + 5}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के रूप में व्यक्त करते हैं।मान लीजिए $f(x) = 7 - 6x - x^2$. तब $f'(x) = -6 - 2x$.हम $2x + 5 = -( -2x - 6 ) - 1$ लिख सकते हैं।अतः,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$.पहले समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = 7 - 6x - x^2$,तो $du = (-6 - 2x) dx$. तब $\int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.अतः,$-\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.दूसरे समाकलन के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हुए: $7 - 6x - x^2 = 16 - (x^2 + 6x + 9) = 4^2 - (x + 3)^2$.अतः,$\int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x + 3)^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right)$.इन दोनों को जोड़ने पर,$I = -2\sqrt{7 - 6x - x^2} - \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$.$A\sqrt{7 - 6x - x^2} + B\sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -2$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।

$\int {\frac{{2x + 5}}{{\sqrt {7 - 6x - {x^2}} }}dx} = A\sqrt {7 - 6x - {x^2}} + B\,{\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + 3}}{4}} \right) + C$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो क्रमित युग्म $(A, B)$ बराबर है

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$\int \frac{dx}{1-\cos x-\sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int {\frac{1}{{x + {x^5}}}dx = f(x) + c} $ है,तो $\int {\frac{{{x^4}}}{{x + {x^5}}}dx} $ का मान क्या होगा?

फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{6x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}$

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