$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ એ બે સદિશો છે. બિંદુઓ $A$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ છે. રેખા $AB$ પરના બિંદુ $P$ અને રેખા $CD$ પરના બિંદુ $Q$ ના સ્થાન સદિશો શોધો જેથી $\overrightarrow{PQ}$ એ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ બંનેને લંબ હોય.

(N/A) ધારો કે રેખા $AB$ ને $\vec{r} = (6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(6 + 3\lambda, 7 - \lambda, 4 + \lambda)$ છે.
ધારો કે રેખા $CD$ ને $\vec{r} = (0\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $CD$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(-3\mu, -9 + 2\mu, 2 + 4\mu)$ છે.
તેથી $\overrightarrow{PQ} = (-3\mu - 6 - 3\lambda)\hat{i} + (2\mu + \lambda - 16)\hat{j} + (4\mu - \lambda - 2)\hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય: $3(-3\mu - 6 - 3\lambda) - 1(2\mu + \lambda - 16) + 1(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow -7\mu - 11\lambda - 4 = 0 \dots (i)$.
કારણ કે $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{CD}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય: $-3(-3\mu - 6 - 3\lambda) + 2(2\mu + \lambda - 16) + 4(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow 29\mu + 7\lambda - 22 = 0 \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,$(i)$ ને $7$ વડે અને $(ii)$ ને $11$ વડે ગુણતા: $-49\mu - 77\lambda - 28 = 0$ અને $319\mu + 77\lambda - 242 = 0$.
આનો સરવાળો કરતા,$270\mu - 270 = 0 \Rightarrow \mu = 1$. $(i)$ માં $\mu = 1$ મૂકતા,$-7 - 11\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,$P = (6 + 3(-1), 7 - (-1), 4 + (-1)) = (3, 8, 3)$ અને $Q = (-3(1), -9 + 2(1), 2 + 4(1)) = (-3, -7, 6)$.
સ્થાન સદિશો $\vec{P} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{Q} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.