$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ दो सदिश हैं। बिंदु $A$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। रेखा $AB$ पर एक बिंदु $P$ और रेखा $CD$ पर एक बिंदु $Q$ के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ताकि $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ दोनों के लंबवत हो।

(N/A) माना रेखा $AB$ को $\vec{r} = (6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दर्शाया गया है। $AB$ पर कोई बिंदु $P$ $(6 + 3\lambda, 7 - \lambda, 4 + \lambda)$ है।
माना रेखा $CD$ को $\vec{r} = (0\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k})$ द्वारा दर्शाया गया है। $CD$ पर कोई बिंदु $Q$ $(-3\mu, -9 + 2\mu, 2 + 4\mu)$ है।
तब $\overrightarrow{PQ} = (-3\mu - 6 - 3\lambda)\hat{i} + (2\mu + \lambda - 16)\hat{j} + (4\mu - \lambda - 2)\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}$,उनका अदिश गुणनफल $0$ है: $3(-3\mu - 6 - 3\lambda) - 1(2\mu + \lambda - 16) + 1(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow -7\mu - 11\lambda - 4 = 0 \dots (i)$.
चूंकि $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{CD}$,उनका अदिश गुणनफल $0$ है: $-3(-3\mu - 6 - 3\lambda) + 2(2\mu + \lambda - 16) + 4(4\mu - \lambda - 2) = 0 \Rightarrow 29\mu + 7\lambda - 22 = 0 \dots (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$(i)$ को $7$ से और $(ii)$ को $11$ से गुणा करने पर: $-49\mu - 77\lambda - 28 = 0$ और $319\mu + 77\lambda - 242 = 0$.
इन्हें जोड़ने पर,$270\mu - 270 = 0 \Rightarrow \mu = 1$ प्राप्त होता है। $(i)$ में $\mu = 1$ रखने पर,$-7 - 11\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (6 + 3(-1), 7 - (-1), 4 + (-1)) = (3, 8, 3)$ और $Q = (-3(1), -9 + 2(1), 2 + 4(1)) = (-3, -7, 6)$ है।
स्थिति सदिश $\vec{P} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{Q} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$ हैं।