मान लीजिए A एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश bar | vedclass

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Question

(A) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ है।मान लीजिए समतल $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\

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$\bar{r} \cdot(-\bar{j}+2 \bar{k})=8$

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(A) रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ है।मान लीजिए समतल $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\bar{j} + 5\bar{k}) = 0$ है। बिंदु $P$ की समतल से दूरी $d = \frac{|(1)(2) + (t-3)(3) + (-2t)(5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3t - 9 - 10t|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7t - 7|}{\sqrt{38}}$ है।न्यूनतम दूरी के लिए, अंश को शून्य के बराबर रखने पर: $-7t - 7 = 0 \implies t = -1$.$t = -1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर, हमें $P$ का स्थिति सदिश प्राप्त होता है: $\vec{p} = \bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}$.सदिश $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) - (\bar{i} - 3\bar{j}) = -\bar{j} + 2\bar{k}$.$P(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k})$ से गुजरने वाले और $\vec{AP} = -\bar{j} + 2\bar{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = \vec{p} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k})$ है।डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = (-4)(-1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8$.अतः, समीकरण $\bar{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = 8$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P. \quad a =$	$1. \quad 13$
$Q. \quad b =$	$2. \quad -3$
$R. \quad c =$	$3. \quad 1$
$S. \quad d =$	$4. \quad -2$

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यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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