int_{-pi}^{pi} |pi - |x|| , dx का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$. चूँकि फलन $f(x) = |\pi - |x||$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं: $I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - |x|| \,

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$\pi^{2}$

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(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$. चूँकि फलन $f(x) = |\pi - |x||$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं: $I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$. अंतराल $x \in [0, \pi]$ के लिए,$|x| = x$ होता है,अतः व्यंजक इस प्रकार होगा: $I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - x| \, dx$. अंतराल $[0, \pi]$ में $x \leq \pi$ है,इसलिए $\pi - x \geq 0$,अतः $|\pi - x| = \pi - x$. $I = 2 \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \, dx$. $I = 2 \left[ \pi x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\pi}$. $I = 2 \left( (\pi(\pi) - \frac{\pi^{2}}{2}) - (0 - 0) \right)$. $I = 2 \left( \pi^{2} - \frac{\pi^{2}}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^{2}}{2} \right) = \pi^{2}$.

$\int_{-\pi}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए :

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कथन $(A)$: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x)^{\sqrt{2}} dx}{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{12}$
कारण $(R)$: $\int_{a}^{b} \frac{f(x) dx}{f(x)+f(a+b-x)} = \frac{b-a}{2}$

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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