$E$,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की बढ़ाई गई भुजा $AD$ पर स्थित एक बिंदु है और $BE$,$CD$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $\Delta ABE \sim \Delta CFB$ है।

$\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर $A$ से डाला गया लंब $BC$ को $D$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $DB = 3CD$ है (आकृति देखिए)। सिद्ध कीजिए कि $2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$।

आकृति में,$ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $\angle ABC < 90^{\circ}$ और $AD \perp BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2BC \cdot BD$ है।

नाज़िमा एक धारा में फ्लाई फिशिंग कर रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ी का सिरा पानी की सतह से $1.8 \, m$ ऊपर है और डोरी के अंत में मक्खी छड़ी के सिरे के ठीक नीचे के बिंदु से $2.4 \, m$ दूर पानी पर स्थित है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (छड़ी के सिरे से मक्खी तक) तनी हुई है,उसने कितनी डोरी बाहर निकाली है? यदि वह $5 \, cm$ प्रति सेकंड की दर से डोरी खींचती है,तो $12 \, \text{सेकंड}$ के बाद मक्खी की उससे क्षैतिज दूरी क्या होगी?

$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AC = BC$ है। यदि $AB^2 = 2 AC^2$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

$ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $2a$ है। इसके प्रत्येक शीर्षलंब (altitude) की लंबाई ज्ञात कीजिए।