$PQR$ एक त्रिभुज है जो $P$ पर समकोण है और $M$,$QR$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $PM \perp QR$ है। सिद्ध कीजिए कि $PM^{2} = QM \cdot MR$ है।

(N/A) माना $\angle MPR = x$ है।
$\Delta MPR$ में,
$\angle MRP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - x$ है।
इसी प्रकार,$\Delta MPQ$ में,
$\angle MPQ = 90^{\circ} - \angle MPR = 90^{\circ} - x$ है।
$\Delta MPQ$ में,
$\angle MQP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - (90^{\circ} - x) = x$ है।
अब,$\Delta QMP$ और $\Delta PMR$ में:
$\angle MPQ = \angle MRP = 90^{\circ} - x$
$\angle MQP = \angle MPR = x$
$\angle PMQ = \angle RMP = 90^{\circ}$
अतः,$\Delta QMP \sim \Delta PMR$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{QM}{PM} = \frac{PM}{MR}$
$\Rightarrow PM^{2} = QM \cdot MR$।