$1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots$ ના $n$ પદો સુધીનો સરવાળો =

શ્રેણી $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \dots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શું થાય?

ધારો કે $ABC$ એ $a$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે. ત્રિકોણ $ABC$ ની તમામ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને એક નવો ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે અને આ પ્રક્રિયા અનંત વખત પુનરાવર્તિત થાય છે. જો $P$ એ પરિમિતિઓનો સરવાળો હોય અને $Q$ એ આ પ્રક્રિયામાં બનેલા તમામ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો હોય,તો:

$(1^2-1+1)(1!) + (2^2-2+1)(2!) + \ldots + (n^2-n+1)(n!)$ નો સરવાળો શું થાય?

$1^2+\left(1^2+2^2\right)+\left(1^2+2^2+3^2\right)+\ldots+\left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)=$

શ્રેણી $1 \times 3^{2} + 2 \times 5^{2} + 3 \times 7^{2} + \dots$ ના $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?