$18 \ m^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસ કાગળ પર એક પોસ્ટર છાપવાનું છે. ઉપર અને નીચેના ભાગે $75 \ cm$ અને બંને બાજુએ $50 \ cm$ ની જગ્યા છોડવાની છે. તો છાપવા માટે ઉપલબ્ધ જગ્યા મહત્તમ થાય તે માટે કાગળના પરિમાણો,એટલે કે ઊંચાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે કેટલી હશે?

સાબિત કરો કે ન્યૂનતમ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને આપેલ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ તેના પાયાની ત્રિજ્યા કરતાં $\sqrt{2}$ ગણી હોય છે.

ધારો કે $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}, x > 0$. ધારો કે $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n < \ldots$ એ $f(x)$ ના તમામ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ છે અને $y_1 < y_2 < y_3 < \ldots < y_n < \ldots$ એ $f(x)$ ના તમામ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$(1)$ દરેક $n$ માટે $|x_n - y_n| > 1$
$(2)$ $x_1 < y_1$
$(3)$ દરેક $n$ માટે $x_n \in (2n, 2n + \frac{1}{2})$
$(4)$ દરેક $n$ માટે $x_{n+1} - x_n > 2$

$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેના માટે સમીકરણ $\frac{4}{\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}=\alpha$ ને $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે.

જો વિધેય $f(x) = \frac{t + 3x - x^2}{x - 4}$,જ્યાં $t$ એક પ્રાચલ છે,તેને સ્થાનીય મહત્તમ અને સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોય,તો $t$ ના મૂલ્યોનો વિસ્તાર શોધો:

$f(x) = (7-x)^4 (2+x)^5$ ની મહત્તમ કિંમત શું છે?