સાબિત કરો કે ન્યૂનતમ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને આપેલ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ તેના પાયાની ત્રિજ્યા કરતાં $\sqrt{2}$ ગણી હોય છે.

(N/A) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{3V}{\pi r^{2}}$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(S) = \pi r l = \pi r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા,$S = \pi r \sqrt{r^{2} + \frac{9V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}} = \frac{1}{r} \sqrt{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}$.
$S$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $S^{2} = \frac{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}{r^{2}} = \pi^{2} r^{4} + 9V^{2} r^{-2}$ ને ન્યૂનતમ કરીશું.
ધારો કે $f(r) = S^{2}$. તો $f'(r) = 4 \pi^{2} r^{3} - 18V^{2} r^{-3}$.
$f'(r) = 0$ લેતા,$4 \pi^{2} r^{3} = \frac{18V^{2}}{r^{3}}$,તેથી $r^{6} = \frac{18V^{2}}{4 \pi^{2}} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$.
$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ ને $r^{6} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$ માં મૂકતા,$r^{6} = \frac{9}{2 \pi^{2}} \cdot (\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4} h^{2}) = \frac{1}{2} r^{4} h^{2}$.
આમ,$r^{2} = \frac{1}{2} h^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $h^{2} = 2r^{2}$,અથવા $h = \sqrt{2} r$.
$f''(r) = 12 \pi^{2} r^{2} + 54V^{2} r^{-4} > 0$ હોવાથી,$h = \sqrt{2} r$ પર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ થાય છે.