$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$\int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x=$

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

ધારો કે $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ એ $f(x) = \sin^2 x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને ધારો કે $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ એ $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
(આ ફકરા પર આધારિત બે પ્રશ્નો છે. નીચે આપેલા પ્રશ્નો તે બે છે.)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.