જો 0

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int\limits_0^\pi \frac{t \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(t) \, dt = \int_0^a f(a-t) \, dt$ નો ઉ

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં સતત અને વિકલનીય છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int\limits_0^\pi \frac{t \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(t) \, dt = \int_0^a f(a-t) \, dt$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \int_0^\pi \frac{(\pi-t) \sin(\pi-t)}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2(\pi-t)}} \, dt = \int_0^\pi \frac{(\pi-t) \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2f(x) = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. સંકલિત $t = \frac{\pi}{2}$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$f(x) = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. ધારો કે $y = \cos t$,તો $dy = -\sin t \, dt$. જ્યારે $t=0, y=1$; જ્યારે $t=\pi/2, y=0$. $f(x) = \pi \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 + 	an^2 x (1-y^2)}} = \pi \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\sec^2 x - 	an^2 x \, y^2}} = \frac{\pi}{	an x} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\csc^2 x - y^2}}$. $f(x) = \frac{\pi}{	an x} [\sin^{-1}(\frac{y}{\csc x})]_0^1 = \frac{\pi}{	an x} \sin^{-1}(\sin x) = \frac{\pi x}{	an x}$. $f(x) = \frac{\pi x}{	an x}$ એ $(0, \pi/2)$ માં વિકલનીય વિધેયોનું સંયોજન હોવાથી,$f$ એ $(0, \pi/2)$ માં સતત અને વિકલનીય છે.

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx =$

ધારો કે $f(x)$ એ એક ધન વિધેય છે,$I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$,અને $I_2 = \int_{-1}^2 f(x(1-x)) dx$. તો $\frac{I_2}{I_1}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\int_{5 \pi}^{25 \pi}|\sin 2 x+\cos 2 x| d x=$ ($\sqrt{2}$ માં)

$\int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx =$

જો $f(x) = f(a-x)$ હોય, તો $\int_0^a x f(x) dx$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module